Para este tema debemos tener muy en cuenta las identidades trigonométricas además de las derivadas de funciones trigonométricas.

 

                                      

 

una funcion trigonometrica se puede representar como:

La forma MÁS convencional o MÁS utilizada es:

En toda función trigonometrica:

     ,    ,     ,  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      

 

identidades

        

 

       

       

       

        

 

 

        

 

          

        

        

          

        

        

          

        

    

        

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      

 

DERIVADAS trigonometricas:

         

           

 

            

            

 

Caso 1.

Cuando  “n” y “m”  son pares en seno y coseno.

 

Resolver la siguiente integral.

Cuando ambas funciones son pares se utilizan las identidades siguientes:

 

Sustituyendo en la integral:

 

 

 

 

 

 

                                      

 

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Ahora resolvemos con la integral:

 

 

Resolviendo cada integral.

En esta fórmula:    el ángulo se duplica.

 

La integral:

Se resuelve con la fórmula:

Sustituimos en la fórmula:

La integral no está completa, por lo que hay que completarla y se resuelve

Ya juntando todos los resultados de las integrales que resolvimos por separado, la integral queda:

Resolviendo la fracción:

Finalmente:

 

Resolver la siguiente integral:

 

 

 

 

                                      

 

LEY DE LOS EXPONENTES:

Para aplicar las leyes de los exponentes, las bases de las potencias deben de ser iguales:

=

Utilizamos la identidad:   

                                                  

                                      

 

RECUERDA BINOMIO AL CUADRADO

La integral queda de la siguiente forma:

Resolviendo:

Resolviendo las dos primeras integrales, ya que más fáciles de resolver.

Ahora la integral

Ocupamos la fórmula:

Sustituimos en la fórmula de la integral:

 

A la integral le falta un “2” a completamos la integral y resolvemos:

Ahora resolvemos la integral:

 

 

 

 

                                      

 

en esta formula el angulo se duplica

 

Resolviendo cada integral:

Ocupamos la fórmula:

Sustituimos en la fórmula de la integral:

A la integral le falta un “2” a completamos la integral y resolvemos:

 

Finalmente agregamos todos los resultados y la integral queda resuelta de la siguiente forma:

Caso 2

Cuando “n” es impar en función Seno y Coseno.

En este método o procedimiento se requiere siempre tener ya sea Seno o Coseno a la potencia 1 y la otra función se descompondrá en una potencia par. Para de ahí sustituir por las identidades:

 

      O     

Resolver la siguiente integral:

 

                                      

 

LEY DE LOS EXPONENTES:

Para aplicar las leyes de los exponentes, las bases de las potencias deben de ser iguales:

=

 

 

Sustituimos:         

                                                    

                                      

 

BINOMIO AL CUADRADO

 

Sustituyendo:

Realizando la multiplicación:

 

 

En este tipo de método: Cuando “n” es impar en función Seno y Coseno.

Generalmente se ocupan las formulas:

              

Resolvemos cada integral por separado y después las agregamos.

Sustituyendo en la fórmula:

Integral completa: resolvemos:

 

Ocupamos la fórmula:

Sustituimos en la fórmula:

La integral no está completa, falta el signo (-) resolvemos.

Integramos la otra función:

Ocupamos la fórmula:

Sustituimos en la fórmula:

 

La integral no está completa, falta el signo (-) resolvemos.

Sustituimos:

Por lo tanto la integral queda resuelta:

 

Caso 3.

Cuando “n” y “m” son impares y pares, respectivamente, en funciones trigonométricas de:

                              

La potencia par hay que descomponerla a modo de tener siempre una potencia al cuadrado.

                              

En este caso ocuparemos:

 

Y las fórmulas de derivadas:

  

  

 

 

 

Resolver la siguiente integral:

 

                                      

 

LEY DE LOS EXPONENTES:

Para aplicar las leyes de los exponentes, las bases de las potencias

deben de ser iguales:

=

 

 

Descomponemos:

 

Realizamos la multiplicación:

En ambas integrales utilizamos la fórmula de integración.

                     

En ambos casos

                   

Sustituyendo los valores en la fórmula:

En ambos caso su sustitución queda como:

                     

En ambas integrales falta un “3”, a completamos la integral y resolvemos:

                     

                     

Otro resultado es factorizando,  que es lo recomendable:

 

                                      

 

la factorizacion de un polinomio, con termino comun:

 

 

Resolver la siguiente integral:

Ocupamos la identidad:  

 

Realizando la multiplicación, se tiene:

                        

Resolvemos las integrales

 Ocupando respectivamente las formulas:

                

                                      

               

                                                  

Sustituyendo estos valores en la formula correspondiente:

                                         

 

                        

En ambas integrales falta un “2” a completamos las integrales y resolvemos:

 

                        

                        

Factorizando se tiene:

 

Resolver la siguiente integral:

 

 

 

                                      

 

una fraccion se puede representar de las siguientes formas:

 

 

                                      

 

 

 

                                      

 

LEY DE LOS EXPONENTES:

Para aplicar las leyes de los exponentes, las bases de las potencias deben de ser iguales:

=

Descomponemos a modo de que quede una función elevada al cuadrado

 

                                      

 

 

Multiplicando los términos de la integral.

 

                                      

 

 

La función:   ,  la convertimos nuevamente a una potencia al cuadrado, para facilitar su resolución

 

 

                                      

 

 

Nuevamente realizando la multiplicación:

 

                                      

 

Recuerda:

                                    

Para resolver las integrales ocupamos las formulas:                , respectivamente.

                                                                                                                 

 

                                                                              

 

                                                           

Sustituyendo en las integrales.

                                                                                       

Están completas por lo tanto resolvemos las integrales:

                                     

Caso 4

Resolver la siguiente integral.

Observa que los ángulos son diferentes, entonces se ocupa la fórmula:

 

Ocupamos para las dos integrales la fórmula:

                                                                            

                                                                     

Sustituimos estos valores en las integrales

A completamos las integrales a la primera le falta un 3 y a la segunda un 7 y resolvemos.

 

 

         

Por lo que el resultado es:

Resolver la integral:

 

Ocupamos para las dos integrales la fórmula:

                                                                            

                                                                     

Sustituimos estos valores en las integrales

A completamos las integrales a la primera le falta un   y a la segunda está completa,  resolvemos.