Para este tema debemos tener muy en cuenta las identidades trigonométricas además de las derivadas de funciones trigonométricas.
una funcion
trigonometrica se puede representar como:
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La forma MÁS
convencional o MÁS utilizada es:
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En toda función
trigonometrica:
,
,
, ![]()
identidades
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DERIVADAS trigonometricas:
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Caso 1.
Cuando “n” y “m” son pares en seno y coseno.
Resolver la siguiente integral.
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Cuando ambas funciones son pares se utilizan las identidades siguientes:
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Sustituyendo en la integral:
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DIFERENCIA DE
CUADRADOS
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Ahora resolvemos con la integral:
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Resolviendo cada integral.
En esta fórmula:
el ángulo se duplica.
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La integral:
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Se resuelve con la fórmula:
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![]()
![]()
Sustituimos en la fórmula:
![]()
La integral no está completa, por lo que hay que completarla y se resuelve
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Ya juntando todos los resultados de las integrales que resolvimos por separado, la integral queda:
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Resolviendo la fracción:
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Finalmente:
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Resolver la siguiente integral:
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LEY DE LOS
EXPONENTES:
Para aplicar las
leyes de los exponentes, las bases de las potencias deben de ser iguales:
=![]()
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![]()
Utilizamos la identidad: ![]()
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RECUERDA BINOMIO AL
CUADRADO
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La integral queda de la siguiente forma:
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Resolviendo:
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Resolviendo las dos primeras integrales, ya que más fáciles de resolver.
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Ahora la integral
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Ocupamos la fórmula:
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![]()
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Sustituimos en la fórmula de la integral:
![]()
A la integral le falta un “2” a completamos la integral y resolvemos:
![]()
Ahora resolvemos la integral:
![]()
![]()
en esta formula el
angulo se duplica
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![]()
Resolviendo cada integral:
![]()
![]()
![]()
Ocupamos la fórmula:
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![]()
![]()
Sustituimos en la fórmula de la integral:
![]()
A la integral le falta un “2” a completamos la integral y resolvemos:
![]()
Finalmente agregamos todos los resultados y la integral queda resuelta de la siguiente forma:
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Caso 2
Cuando “n” es impar en
función Seno y Coseno.
En este método o
procedimiento se requiere siempre tener ya sea Seno o Coseno a la potencia 1 y
la otra función se descompondrá en una potencia par. Para de ahí sustituir por
las identidades:
O ![]()
Resolver la siguiente integral:
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LEY DE LOS
EXPONENTES:
Para aplicar las
leyes de los exponentes, las bases de las potencias deben de ser iguales:
=![]()
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![]()
![]()
![]()
Sustituimos:
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BINOMIO AL CUADRADO
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Sustituyendo:
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Realizando la multiplicación:
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En este tipo de método: Cuando “n” es impar en función Seno y Coseno.
Generalmente se ocupan
las formulas:
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Resolvemos cada integral por separado y después las agregamos.
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Sustituyendo en la fórmula:
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Integral completa: resolvemos:
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Ocupamos la fórmula:
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Sustituimos en la fórmula:
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La integral no está completa, falta el signo (-) resolvemos.
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Integramos la otra función:
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Ocupamos la fórmula:
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![]()
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Sustituimos en la fórmula:
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La integral no está completa, falta el signo (-) resolvemos.
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![]()
Sustituimos:
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Por lo tanto la integral queda resuelta:
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Caso 3.
Cuando “n” y “m” son impares y pares, respectivamente, en funciones trigonométricas de:
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La potencia par hay que descomponerla a modo de tener siempre una potencia al cuadrado.
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En este caso ocuparemos:
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Y las fórmulas de derivadas:
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Resolver la siguiente integral:
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LEY DE LOS
EXPONENTES:
Para aplicar las leyes de los exponentes, las bases de las potencias
deben de ser iguales:
=![]()
![]()
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Descomponemos:
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Realizamos la multiplicación:
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En ambas integrales utilizamos la fórmula de integración.
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En ambos casos
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Sustituyendo los valores en la fórmula:
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En ambos caso su sustitución queda como:
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En ambas integrales falta un “3”, a completamos la integral y resolvemos:
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Otro resultado es factorizando, que es lo recomendable:
la factorizacion de un polinomio, con termino comun:
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Resolver la siguiente integral:
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Ocupamos la identidad:
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Realizando la multiplicación, se tiene:
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Resolvemos las integrales
Ocupando respectivamente las formulas:
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Sustituyendo estos valores en la formula correspondiente:
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En ambas integrales falta un “2” a completamos las integrales y resolvemos:
Factorizando se tiene:
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Resolver la siguiente integral:
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una fraccion se puede representar de las siguientes
formas:
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LEY DE LOS
EXPONENTES:
Para aplicar las
leyes de los exponentes, las bases de las potencias deben de ser iguales:
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=![]()
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Descomponemos a modo de que quede una función elevada al cuadrado
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Multiplicando los términos de la integral.
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La función:
, la convertimos nuevamente a una potencia al
cuadrado, para facilitar su resolución
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Nuevamente realizando la multiplicación:
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Recuerda:
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Para resolver las integrales ocupamos las
formulas:
, respectivamente.
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Sustituyendo en las integrales.
Están completas por lo tanto resolvemos las integrales:
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Caso 4
Resolver la siguiente integral.
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Observa que los ángulos son diferentes, entonces se ocupa la fórmula:
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Ocupamos para las dos integrales la fórmula:
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Sustituimos estos valores en las integrales
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A completamos las integrales a la primera le falta un 3 y a la segunda un 7 y resolvemos.
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Por lo que el resultado es:
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Resolver la integral:
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Ocupamos para las dos integrales la fórmula:
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Sustituimos estos valores en las integrales
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A completamos las integrales a la primera
le falta un
y a la segunda está
completa, resolvemos.
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